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부분적분법

두 함수 $ f(x) $, $ g(x) $가 미분가능할 때

\begin{gather*}
\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – \int f'(x)g(x) dx
\end{gather*}

  • 두 함수 $ f(x) $, $ g(x) $의 곱의 미분은
    \begin{gather*}
    \left\{ f(x) g(x) \right\}’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
    \end{gather*}$ f'(x) g(x) $를 이항하면
    \begin{gather*}
    f(x) g'(x) = \left\{ f(x) g(x) \right\}’ – f'(x) g(x)
    \end{gather*}양변을 적분하면
    \begin{gather*}
    \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – \int f'(x)g(x) dx
    \end{gather*}
  • 보통 로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수에서 왼쪽 함수를 $ f(x) $로, 오른쪽 함수를 $ g'(x) $로 놓는다.(로다삼지)

다음 부정적분을 구하여라.

\begin{gather*}
\int x \cos x dx
\end{gather*}

$ \cos x $를 $ g'(x) $로 놓는다.

\begin{align*}
\int x (\sin x)’ dx = x \sin x – \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C
\end{align*}

다음 부정적분을 구하여라.

\begin{gather*}
\int x e^x dx
\end{gather*}

$ e^x $을 $ g'(x) $로 놓는다.

\begin{align*}
\int x (e^x)’ dx = x e^x – \int e^x dx = x e^x – e^x + C
\end{align*}

다음 부정적분을 구하여라.

\begin{gather*}
\int \ln x dx
\end{gather*}

$ 1 $을 $ g'(x) $로 놓는다.

\begin{align*}
\int \ln x \cdot (x)’ dx = \ln x \cdot x – \int \frac{1}{x} x dx = x \ln x – x + C
\end{align*}

다음 부정적분을 구하여라.

\begin{gather*}
\int x^2 e^x dx
\end{gather*}

$ e^x $을 $ g'(x) $로 놓는다.

\begin{align*}
\int x^2 (e^x)’ dx &= x^2 e^x – \int 2x e^x dx \\
&= x^2 e^x – \int 2x (e^x)’ dx \\
&= x^2 e^x – \left( 2x e^x – \int 2 e^x dx \right) \\
&= x^2 e^x – 2x e^x + 2e^x + C
\end{align*}

$ f'(x) = \sin x \cdot e^x $일 때 $ f(x) $를 구하여라.

$ e^x $을 $ g'(x) $로 놓는다.

\begin{align*}
f(x) &= \int \sin x \cdot (e^x)’ dx = \sin x \cdot e^x – \int \cos x \cdot e^x dx \\
&= \sin x \cdot e^x – \int \cos x \cdot (e^x)’ dx \\
&= \sin x \cdot e^x – \left( \cos x \cdot e^x – \int (-\sin x)e^x dx \right) \\
&= \sin x \cdot e^x – \cos x \cdot e^x – f(x) \\
\therefore \ \ f(x) &= \frac{1}{2} e^x ( \sin x – \cos x ) + C
\end{align*}