수학 공식 | 고등학교 > 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열
원순열
서로 다른 것을 원형으로 배열하는 순열을 원순열이라 한다.
원순열의 수의 계산
서로 다른 $ n $개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는
\begin{align*}
(n-1)! \ \quad \textrm{또는} \quad \ n! \times \frac{1}{n}
\end{align*}
$ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ 여섯 명의 사람이 원탁에 둘러 앉으려고 한다.
- 원탁에 둘러 앉는 방법의 수를 구하여라.
- $ A $, $ B $가 이웃하게 원탁에 둘러 앉는 방법의 수를 구하여라.
- $ (6-1)! = 120 $
- $ 2! \times (5-1)! = 48 $
중복순열
서로 다른 $ n $개에서 중복을 허락하여 $ r $개를 선택하여 일렬로 나열하는 것을 $ n $개에서 $ r $개를 택한 중복순열이라 하고, 이 중복순열의 수를 기호로
\begin{gather*}
\phantom{}_{n}\Pi_{r}
\end{gather*}
과 같이 나타낸다.
중복순열의 수의 계산
서로 다른 $ n $개에서 중복을 허락하여 $ r $개를 선택하여 일렬로 나열하는 중복순열의 수는
\begin{gather*}
\phantom{}_{n}\Pi_{r} = n^r
\end{gather*}
$ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $의 네 개의 숫자로 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수를 구하여라.
$ \phantom{}_{4}\Pi_{3} = 4^3 = 64 $
같은 것이 있는 순열
$ n $개 중에 같은 것이 $ p $개, $ q $개, $ \cdots $, $ r $개 있을 때 $ n $개를 일렬로 나열하는 경우의 수는
\begin{align*}
\frac{n!}{p! \times q! \times \cdots \times r!}
\end{align*}
$ a $, $ a $, $ a $, $ b $, $ b $, $ c $, $ d $ $ 7 $개의 문자를 나열하는 방법의 수를 구하여라.
$ \displaystyle \frac{7!}{3! \times 2!} = 420 $
