수학 공식 | 고등학교 > 함수의 수렴과 발산
$ \boldsymbol{ x \to a } $일 때 함수의 수렴
함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 $ a $가 아니면서 $ a $에 한없이 가까워질 때, $ f(x) $의 값이 일정한 값 $ \alpha $에 한없이 가까워지면 함수 $ f(x) $는 $ \alpha $에 수렴한다고 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow a \textrm{ 일 때 } f(x) \rightarrow \alpha \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha
\end{align*}
와 같이 나타낸다. 이 때 $ \alpha $를 함수 $ f(x) $의 극한 또는 극한값이라 한다.
$ \boldsymbol{ x \to a } $일 때 함수의 발산
- 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 $ a $에 한없이 가까워질 때, $ f(x) $의 값이 한없이 커지면 함수 $ f(x) $는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow a \textrm{ 일 때 } f(x) \rightarrow \infty \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty
\end{align*}와 같이 나타낸다. - 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 $ a $에 한없이 가까워질 때, $ f(x) $의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함수 $ f(x) $는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow a \textrm{ 일 때 } f(x) \rightarrow -\infty \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty
\end{align*}와 같이 나타낸다. - 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 $ a $에 한없이 가까워질 때, 일정한 값에 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로도 발산하지 않으면 이 함수는 진동한다고 한다.
$ \boldsymbol{ x \to \infty } $일 때 함수의 수렴
함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 한없이 커질 때, $ f(x) $의 값이 일정한 값 $ \alpha $에 한없이 가까워지면 함수 $ f(x) $는 $ \alpha $에 수렴한다고 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow \infty \textrm{ 일 때 } f(x) \rightarrow \alpha \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \alpha
\end{align*}
와 같이 나타낸다. 이 때 $ \alpha $를 함수 $ f(x) $의 극한 또는 극한값이라 한다.
$ \boldsymbol{ x \to \infty } $일 때 함수의 발산
- 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 한없이 커질 때, $ f(x) $의 값이 한없이 커지면 함수 $ f(x) $는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow \infty \textrm{ 일 때 } f(x) \rightarrow \infty \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty
\end{align*}와 같이 나타낸다. - 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 한없이 커질 때, $ f(x) $의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함수 $ f(x) $는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow \infty \textrm{ 일 때 } f(x) \rightarrow -\infty \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = -\infty
\end{align*}와 같이 나타낸다. - 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 한없이 커질 때, 일정한 값에 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로도 발산하지 않으면 이 함수는 진동한다고 한다.
$ \boldsymbol{ x \to -\infty } $일 때 함수의 수렴
함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, $ f(x) $의 값이 일정한 값 $ \alpha $에 한없이 가까워지면 함수 $ f(x) $는 $ \alpha $에 수렴한다고 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow -\infty \textrm{ 일 때 } f(x) \rightarrow \alpha \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \alpha
\end{align*}
와 같이 나타낸다. 이 때 $ \alpha $를 함수 $ f(x) $의 극한 또는 극한값이라 한다.
$ \boldsymbol{ x \to -\infty } $일 때 함수의 발산
- 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, $ f(x) $의 값이 한없이 커지면 함수 $ f(x) $는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow -\infty \textrm{ 일 때 } f(x) \rightarrow \infty \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \infty
\end{align*}와 같이 나타낸다. - 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, $ f(x) $의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함수 $ f(x) $는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow -\infty \textrm{ 일 때 } f(x) \rightarrow -\infty \ \ \textrm{ 또는 } \ \ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty
\end{align*}와 같이 나타낸다. - 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, 일정한 값에 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로도 발산하지 않으면 이 함수는 진동한다고 한다.
함수의 좌극한과 우극한
- $ x $의 값이 $ a $보다 작으면서 $ a $에 한없이 가까워지는 것을 기호로 $ x \to a- $와 같이 나타내고, $ x $의 값이 $ a $보다 크면서 $ a $에 한없이 가까워지는 것을 기호로 $ x \to a+ $와 같이 나타낸다.
- 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 $ a $보다 작으면서 $ a $에 한없이 가까워질 때, $ f(x) $의 값이 일정한 값 $ \alpha $에 한없이 가까워지면 $ \alpha $를 함수 $ f(x) $의 좌극한이라 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow a- \textrm{일 때 } f(x) \rightarrow \alpha \ \ \textrm{또는} \ \ \lim_{x \rightarrow a-} f(x) = \alpha
\end{align*}와 같이 나타낸다. - 함수 $ f(x) $에서 $ x $의 값이 $ a $보다 크면서 $ a $에 한없이 가까워질 때, $ f(x) $의 값이 일정한 값 $ \alpha $에 한없이 가까워지면 $ \alpha $를 함수 $ f(x) $의 우극한이라 하고, 기호로
\begin{align*}
x \rightarrow a+ \textrm{일 때 } f(x) \rightarrow \alpha \ \ \textrm{또는} \ \ \lim_{x \rightarrow a+} f(x) = \alpha
\end{align*}와 같이 나타낸다.
극한값의 존재 조건
함수 $ f(x) $에 대하여 $ x=a $에서 함수 $ f(x) $의 극한값이 존재하면 $ x=a $에서 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 그 값이 같다. 또한 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값이 같으면 극한값이 존재한다.
\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha \ \ \Longleftrightarrow \ \ \lim_{x \rightarrow a-} f(x) = \lim_{x \rightarrow a+} f(x) = \alpha
\end{gather*}
