수학 공식 | 고등학교 > 수열의 극한에 대한 기본 성질
수열의 극한에 대한 기본 성질
두 수열 $ \{ a_n \} $과 $ \{ b_n \} $이 수렴하고, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \alpha $, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \beta $일 때
- $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} k a_n = k \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = k\alpha $ (단, $ k $는 상수)
- $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \pm \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \alpha \pm \beta $
- $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n b_n = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \alpha\beta $
- $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \dfrac{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n}{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n} = \frac{\alpha}{\beta} $ (단, $ b_n \neq 0 $, $ \beta \neq 0 $)
- 수열의 극한에 대한 기본 성질은 수렴하는 수열에 대하여 성립한다는 것에 주의한다.
다음 극한값을 구하여라.
\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} 4 \left( 2 - \frac{1}{n} \right)
\end{gather*}
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} 4 \left( 2 - \frac{1}{n} \right) & = 4 \lim_{n \to \infty} \left( 2 - \frac{1}{n} \right) = 4 \left( \lim_{n \to \infty} 2 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \right) \\
& = 4 ( 2 - 0 ) = 8
\end{align*}
수열의 극한값의 대소 관계
두 수열 $ \{ a_n \} $과 $ \{ b_n \} $이 수렴하고, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \alpha $, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \beta $일 때
- 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n \leq b_n $이면 $ \alpha \leq \beta $이다.
- 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n < b_n $이면 $ \alpha \leq \beta $이다.
- 수열 $ \{ c_n \} $이 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n \leq c_n \leq b_n $을 만족시키고 $ \alpha = \beta $이면 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \alpha $이다.
- 수열 $ \{ c_n \} $이 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n < c_n < b_n $을 만족시키고 $ \alpha = \beta $이면 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \alpha $이다.
- \item '모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n < b_n $이면 $ \alpha < \beta $이다.'는 거짓이다. 예를 들어
\begin{gather*}
a_n = 1 - \frac{1}{n}, \ \ b_n = 1 + \frac{1}{n}
\end{gather*}이면 $ a_n < b_n $이지만 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 1 $이다.
수열 $ \{ a_n \} $이 모든 자연수 $ n $에 대하여
\begin{gather*}
\frac{2}{n^2 + 2} \leq a_n \leq \frac{2}{n^2 + 1}
\end{gather*}
을 만족시킬 때, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n^2 a_n $의 값을 구하여라.
각 변에 $ n^2 $을 곱하면
\begin{gather*}
\frac{2n^2}{n^2 + 2} \leq n^2 a_n \leq \frac{2n^2}{n^2 + 1}
\end{gather*}
이고
\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^2}{n^2 + 2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^2}{n^2 + 1} = 2
\end{gather*}
이므로
\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} n^2 a_n = 2
\end{gather*}
이다.
